Probabilidad y estadística

1.1 Experimentos y sucesos

• Experimento determinista: conocidas las condiciones, el resultado es previsible.
• Experimento aleatorio: no se puede predecir el resultado aunque se repita en las mismas condiciones (lanzar un dado, extraer una bola).
• Espacio muestral (E o Ω): conjunto de todos los resultados posibles. Al lanzar un dado, E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
• Suceso: cualquier subconjunto del espacio muestral.

Tipo de suceso	Definición
Elemental	Formado por un único resultado: {4}
Compuesto	Formado por varios: «salir par» = {2, 4, 6}
Seguro	Coincide con el espacio muestral: P(E) = 1
Imposible	No ocurre nunca: P(∅) = 0
Contrario o complementario (Ā)	Ocurre cuando no ocurre A: P(Ā) = 1 − P(A)
Incompatibles	No pueden darse a la vez: A ∩ B = ∅
Compatibles	Pueden darse a la vez

Operaciones: unión (A ∪ B, «A o B»), intersección (A ∩ B, «A y B»), diferencia y complementario. Leyes de De Morgan: el complementario de la unión es la intersección de los complementarios, y viceversa.

1.2 Cómo se calcula la probabilidad

Regla de Laplace (solo si todos los sucesos elementales son equiprobables):

P(A) = casos favorables / casos posibles

Definición frecuentista: la probabilidad es el límite al que tiende la frecuencia relativa del suceso al repetir el experimento muchas veces (ley de los grandes números).

Axiomas de Kolmogorov:

1. P(A) ≥ 0 para todo suceso A.
2. P(E) = 1.
3. Si A y B son incompatibles, P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

Propiedades derivadas:

• 0 ≤ P(A) ≤ 1 (la probabilidad nunca es negativa ni mayor que 1).
• P(Ā) = 1 − P(A).
• P(∅) = 0.
• Para sucesos compatibles: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).

💡 Ejemplo. En una baraja española de 40 cartas, la probabilidad de sacar un oro es 10/40 = 0,25; la de sacar un as, 4/40 = 0,1; la de sacar «oro o as» es 0,25 + 0,1 − 1/40 = 0,325 (se resta el as de oros, contado dos veces).

1.3 Probabilidad condicionada e independencia

P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B), con P(B) > 0

De ahí, la regla del producto: P(A ∩ B) = P(B) · P(A | B).

Sucesos independientes: la ocurrencia de uno no altera la probabilidad del otro. Entonces P(A ∩ B) = P(A) · P(B) y P(A | B) = P(A).

⚠ Cae en examen. No confundir incompatibles con independientes. Dos sucesos incompatibles con probabilidad no nula nunca son independientes: si ocurre uno, el otro es imposible, así que sí se influyen.

Teorema de la probabilidad total y teorema de Bayes: permiten calcular la probabilidad de un suceso a partir de un sistema completo de sucesos y, en el caso de Bayes, invertir el condicionamiento («sabiendo que ha ocurrido B, ¿cuál es la probabilidad de que viniera de A₁?»).

1.4 Combinatoria básica

Concepto	Cuándo se usa	Fórmula
Permutaciones	Se usan todos los elementos y el orden importa	P(n) = n!
Variaciones	Se toman k de n, el orden importa	V(n,k) = n! / (n − k)!
Combinaciones	Se toman k de n, el orden NO importa	C(n,k) = n! / [k! · (n − k)!]

Con repetición existen las variantes correspondientes. Regla básica: si el orden importa, variaciones o permutaciones; si no importa, combinaciones.

💡 Ejemplo. ¿De cuántas formas se pueden elegir 3 personas de un equipo de 8 para una comisión? El orden no importa: C(8,3) = 8! / (3!·5!) = 56.

1.5 Distribuciones más citadas

• Binomial B(n, p): número de éxitos en n pruebas independientes con probabilidad p de éxito. Media = n·p; varianza = n·p·q, con q = 1 − p.
• Normal N(μ, σ): la «campana de Gauss». Es simétrica respecto de la media, y en ella media = mediana = moda. Aproximadamente el 68 % de los datos está en μ ± 1σ, el 95 % en μ ± 2σ y el 99,7 % en μ ± 3σ. La tipificación convierte cualquier normal en la N(0, 1): z = (x − μ) / σ.
• Poisson: número de sucesos raros en un intervalo; su media coincide con su varianza (λ).